Vấn đề phát sinh

Chúng ta hãy làm một phép so sánh một chút. Dưới đây là năm định đề mà Euclid nêu ra trong tác phẩm Cơ bản của mình:

• Qua hai điểm bất kỳ luôn luôn vẽ được một đường thẳng.
• Đường thẳng có thể kéo dài vô tận.
• Với tâm bất kỳ và bán kính bất kỳ, luôn luôn vẽ được một đường tròn.
• Mọi góc vuông đều bằng nhau.
• Trên cùng một mặt phẳng, nếu hai đường thẳng cắt một đường thẳng cho trước với hai góc trong nhỏ hơn 90 độ nằm cùng một phía của đường thẳng cho trước thì hai đường thẳng đó sẽ có điểm giao nhau ở cùng phía đó và tạo nên một góc nhỏ hơn 180 độ.

Nếu quan sát tất cả năm định đề trên, ta thấy định đề thứ V dài hơn cả. Chính điều này đã khiến các nhà toán học có cảm giác là nó không được nhịp nhàng cho lắm. Jean le Rond d'Alembert đã có nói rằng:

Thế nên, nhiều nhà toán học cố gắng đơn giản hóa định đề này[1].

Khó khăn xuất hiện

Nhưng đơn giản hóa định đề này không hề đơn giản chút nào nên sau đó một số người cho rằng thiếu định đề này cũng chẳng sao. Họ nghĩ có khả năng sẽ phải dùng các định đề khác và các tiên đề để chứng minh. Đây cũng là một lời tiên đoán.

Thế những vì mãi không giải được nên các nhà toán học đã sửa lại lời tiên đoán, cho rằng định đề năm cần thiết. Nếu tiếp tục, không nói chúng ta đều biết kết quả. Trong phương pháp chứng minh, họ nghĩ đương nhiên là sử dụng phép phản chứng. Cũng có nghĩa là thay thế định đề năm bằng việc phủ định nó để tìm mẫu thuẫn. Thế những dù kết quả có kỳ lạ, họ đều không thấy sự mâu thuẫn, điều căn bản của phép phản chứng[2]. Rất nhiều nhà toán học đi theo hướng này, như Giovanni Girolamo Saccheri.

Bước ngoặt vấn đề: hình học phi Euclid

Khởi đầu thầm lặng

Thực tế, chính sự kiện trên đã mở ra trang sử mới cho định đề năm, đánh dấu sự ra đời của hình học mới. Thiên tài toán học Carl Friedrich Gauss, người được tôn xưng ngang hàng với Archimedes và Isaac Newton chính là một trong những người phát hiện điều này, Nhưng không hiểu do nguyên nhân về tôn giáo hay lý thuyết của ông chưa được hoàn thiện nên không công bố phát hiện này[3].

Bước đi tiếp theo

Những có một nhóm nhà toán học trẻ tuổi đã mạnh dạn đem công bố rộng rãi hình học mới này. Đó chính là kết quả nghiên cứu của Nikolay Ivanovich Lobachevsky và Janos Bolyai[3]. Ngoài ra còn phải kể tới hình học phi Euclid của Bernhard Riemann. Sau đó, người ta đã dần chứng minh được nhiều vấn đề của hình học phi Euclid và từ đó khẳng định: định đề V của hình học Euclid đúng là một định đề. Từ đó, kết thúc hơn hai nghìn năm lịch sử đi chứng minh định đề.